题目:

$$
已知实数x,y,满足x+2^{x}=2，2y+\log_{2}{y}=1，求x+2y的值
$$

分析

题目中同时出现了指数和对数，显然需要把他们化为同为指数或同为对数的形式，这里两个方程显然无法直接求解出x,y的值，因此可以考虑采用同构的思路进行解答

解答

对于第一个式子，我们有

$$
2^{x}+\log_{2}{2^{x}}=2
$$

对于第二个式子，我们有

$$
2y+\log_{2}{2y}=2
$$

观察可以发现，两个式子的形式被转换为了完全相同的结构，故可以尝试用函数通式来表示

$$
令f(x)=x+\log_{2}{x}
$$

$$
显然，函数y=x，y=\log_{2}{x}均为增函数，故f(x)也为增函数
$$

对于一个增函数，满足有两个根$ 2^{x}$和$ 2y $，故这两个值一定相等。
即

$$
2^{x}=2y
$$

由题目我们又知道

$$
x+2^{x}=2
$$

代入解得

$$
x+2y=2
$$

总结

对于同构类型题目来说，属于一道基础题，但是可以起到良好的思维启迪作用。
（立个flag，回头发篇关于同构的文章）