关于导数的定义与简单应用 1

一般定义

在维基百科中，我们可以得到导数的一般定义。

设函数$y=f(x)$ 在点$x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量$x$ 在$x_0$ 处取得增量$\mathrm{\Delta }x$（点$x_0+\mathrm{\Delta }x$ 仍在该邻域内）时，相应地函数$y$ 取得增量$\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$ 如果$\mathrm{\Delta }y$ 与$\mathrm{\Delta }x$ 之比当$\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时的极限存在，则称函数$y=f(x)$ 在点$x_0$ 处可导，并称这个极限为函数$y=f(x)$ 在点$x_0$ 处的导数，记为$f^{\prime }(x_0)$，即

$$f^{\prime }(x)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}$$

即

$$f^{\prime }(x)=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$$

这也是在高中范围内的基本定义。

几何意义

设$P_0$ 为曲线上的一个定点，$P$ 为曲线上的一个动点。当$P$ 沿曲线逐渐趋向于点$P_0$ 时，并且割线$P$$P_0$ 的极限位置$P_0$$T$ 存在，则称$P_{0}T$ 为曲线在$P_0$ 处的切线

此时切线的斜率为

$tanx=\underset{x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

因此，导数的几何意义为该点处切线的斜率

简单应用

例 1: 求函数$f(x)=2x+\frac{8}{x}$ 的极值

解：    求导得$f^{\prime }(x)=2-\frac{8}{x^2}$

当$f^{\prime }(x)$ 为 0 时    解得$x=\pm 2$

$\therefore$在$x>2$ 或$x<-2$ 时$f^{\prime }(x)>0$

在$-2<x<2$ 时$f^{\prime }(x)<0$

$\therefore f(x)$ 在$x\in (-\mathrm{\infty },-2)$ 和$x\in (2,+\mathrm{\infty })$ 单调递增

$f(x)$ 在$x\in (-2,2)$ 单调递减

 $\therefore x=-2$ 时取得极大值 - 8，$x=2$ 时取得极小值 8