好题精选 1

好题精选

已知$f(f(x))=x^2-x+1$，求$f(0)$

分析：

乍一看很简洁的题目，只有一个条件，所以容易让人联想到特值代入，观察发现，当 x=0,1 时，有特殊值存在，故可尝试带入，观察规律。

作答

$\because f(f(x))=x^2-x+1$

$\therefore f(f(0))=1,f(f(1))=1$
因为其两式的值相等，可尝试代入原函数尝试利用方程组求解
故有如下式子成立
$f[f(f(0))]=f(0{)}^2-f(0)+1=f(1)$①
$f[f(f(1))]=f(1{)}^2-f(1)+1=f(1)$②
注：此处等于$f(1)$ 是因为$f(f(0))，f(f(1))=1$
由②可解得 $f(1)=1$
代入①式可得$f(0)=0\mathrm{或}1$
当$f(0)=0$ 时，代入$f(f(0))=1$ 可得$f(0)=1$
矛盾，故舍去
当$f(0)=1$ 时，成立，故答案为$f(0)=1$

总结

本质上本题在考察对赋值法的应用与对函数概念理解是否透彻，遇到此类嵌套函数时，可尝试赋特值，并根据情况代回原函数进行求解