概念描述

函数对称性的最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需分析函数一侧的性质即可，从而得到整个函数的性质。主要体现在以下几点：

(1) 函数的定义域关于对称轴或者对称中心对称；

(2) 可利用对称性求得某些点的函数值；

(3) 在作图时，只需要作出一侧的图像，另外一侧利用对称性即可画出；

(4) 极值点关于对称轴或者对称中心对称；

(5) 在轴对称的函数中，关于对称轴对称的两个单调区间的单调性是相反的；在中心对称的函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同。

常见公式

轴对称

函数轴对称的定义： 如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
轴对称常见形式:
若$f(x)=f(2a-x)$，则有$f(x)$关于直线$x=a$对称
若$f(x+a)=f(a-x)$，则有$f(x)$关于直线$x=a$对称
若$f(x+a)=f(b-x)$,则有$f(x)$关于直线$x=\frac{a+b}{2}$对称

简单推导
如图
(这是图)
取定义域上的任意一个$x$，因为$f(x)=f(2a-x)$,所以对于任意一个$x$值，都有$x$与$ 2a-x$关于$x=\frac{x+2a-x}{2}$即$x=a$对称
故同理可证后两个结论

中心对称

若有$f(x+a)+f(b-x)=c$，则$f(x)$一定关于$(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})$对称

特别的，当c=0时，若$f(x)$在0处有定义，则$f(0)=0$且$f(x)$为奇函数

简单推导
如图
(这是图)
若有$f(x+a)+f(b-x)=c$
设点$P(x+a,f(x+a))$为函数$f(x)$上任意一点，则$P$关于$(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})$为$P’(b-x,-f(x+a)+c)$
因为$f(x+a)+f(b-x)=c$
所以$f(b-x)=c-f(x+a)$
即$P’(b-x,f(b-x))$
故$P’$一定在函数$f(x)$上，且关于$(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})$与$P$中心对称
即$f(x)$关于点$(\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})$中心对称

例题

已知定义域为$R$的函数$f(x)$满足$f(-x)=-f(x+4)$，且函数$f(x)$在区间$(2,+\infty )$单调递增，
若$x_{1}<2<x_{2}$,且$x_{1}+x_{2}<4$，则$f(x_{1})+f(x_{2})$的值的正负情况为
解：
因为 $f(-x)=-f(x+4)$，则有$f(x)$关于$(2,0)$中心对称
因为$x_{1}+x_{2}<4$，可得$x_{2}<4-x_{1}$
又$x_{2}>2$，所以$f-x_{1}>2$
又$f(x)$在区间$(2,+\infty )$单调递增
所以$f(4-x_{1})<f(x_{2})$
因为 $f(-x)=-f(x+4)$
所以$f(4-x_{1})=-f(x_{1})$
即$-f(x_{1})>f(x_{2})$
$f(x_{1})+f(x_{2})<0$
故原式恒小于0