前言

在高中数学中，同构思想在导数函数类型题目中应用十分广泛，虽然在高一数学中还并没有大规模的出现，但是在对数和指数函数学习完之后，会慢慢的出现同构这一类题型，故作此篇，简单介绍这类思想，并给后面的学习铺垫。

什么是同构

观察下面这个式子

$$
x\ln{y}>y\ln{x}
$$

显然的，我们可以通过变形，得到下面这组式子

$$
\frac{x}{\ln{x}}>\frac{y}{\ln{y}}
$$

我们可以通过一个函数，来统一的表达这对关系

$$
令f(x)=\frac{x}{\ln{x}}
$$

则原式可以转换为

$$
f(x)>f(y)
$$

因此，将式子化为统一结构并采用函数求解的这种思想，我们称之为同构

例题

$$
\begin{aligned}&\text{已知函数 }f(x)=\ln x,g(x)=x^2-x+2.\&(1)\text{ 若 }a\mathrm{e}^x+\ln a\geq f(x)\text{ 恒成立,求实数 }a\text{ 的最小值};\&(2)\text{ 证明:有且只有两条直线与函数}f(x),g(x)\text{的图象都相切}.\end{aligned}
$$

思路

这里我们仅对第一问展开探究
因为这是第一问，所以我们不能采用特别复杂的方法求解这道题，否则会浪费太多时间，通过观察，这组不等式内同时出现了指数和对数，因此可以尝试用同构的思想解决

解答
由原题式子，可得

$$
ae^{x}+\ln{a}\ge\ln{x}
$$

移项，我们得到

$$
e^{x}\ge\frac{\ln{\frac{x}{a}}}{a}
$$

两边同时乘x，我们得到

$$
xe^x\ge\frac{x}{a}\ln{\frac{x}{a}}
$$

我们观察到了相同的$\frac{x}{a}$项，可以考虑把左边也变成相同形式
根据对数的运算性质，我们得到

$$
xe^{x}=e^{x}\ln{e^{x}}
$$

则原式化为

$$
e^{x}\ln{e^{x}}\ge\frac{x}{a}\ln{\frac{x}{a}}
$$

$$
令f(x)=x\ln{x}
$$

则原式变为

$$
f(e^{x})\ge f(\frac{x}{a})
$$

显然$f(x)$为增函，则原式转化为

$$
e^{x}\ge\frac{x}{a}
$$

由于本篇主要讲述同构的思想，故这里不再详细阐述之后的步骤，这里贴上后面的步骤图。