题目1

若实数$x,y$满足$ 2x+y=9$，则$ 2^{x+1}+2^{y}$的最小值为多少

解答1

法1: 基本不等式

$$
原式=2^{x+1}+2^{y}
$$

$$
=2\times2^{x}+2^{y}
$$

$$
=2^{x}+2^{x}+2^{y}
$$

$$
\because 2^{x}>0
$$

$$
\therefore 原式\ge3\sqrt[3]{2^{2x+y}}=24
$$

$$
当且仅当x=y=3时取等
$$

法2：琴生不等式

琴生不等式由丹麦数学家 约翰·琴生(Johan Jensen) 于1906年证明。该不等式描述了凸函数中的不等式关系，有着广泛的应用。

其形式如下：
对于一个下凸函数

$$
存在\frac{f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+….f(x_n)}{n}\ge f(\frac{x_1+x_2+x_3+….+x_n}{n})
$$

$$
当且仅当x_1=x_2=x_3时等号成立
$$

对于一个上凸函数

$$
存在\frac{f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)+….f(x_n)}{n}\le f(\frac{x_1+x_2+x_3+….+x_n}{n})
$$

$$
当且仅当x_1=x_2=x_3时等号成立
$$

故如此化为函数形式可用相同的方式求解，这里不再叙述

题目2

$$
已知 f(x)=m(x-2 m)(x+m+3), g(x)=2^{x}-2 , 若同时满足条件
$$

$$
(1) \forall x \in R, f(x)<0 或 g(x)<0 ;
$$

$$
(2) \exists x \in(-\infty,-4), \quad f(x) g(x)<0 .求 m 的取值范围.
$$

解答2

分析

对于第一个条件，对于任意一个x，在两个函数中至少有一个的函数值小于0，故可根据$g(x)$的函数图像来判断$f(x)$的取值情况
对于第二个条件，则需要在推理出第一个条件的取值的情况下，对其进行限制，即在$x<-4$的时候，存在至少1个$x_0$ ，满足两个函数值异号，两段范围取并集，即可解出题目

作答

$$
首先画出g(x)的图像
$$

$$
如图可知，g(x)的零点为(1,0)
$$

$由条件(1)得出，在x>1时，g(x)>0，因此f(x)应在x>1时f(x)<0，才能满足题意$

即函数f(x)图像大致如下

其中大根为$-m-3$，小根为$ 2m$，根据图示，可知由条件一得到的范围为

$$
m<0且-m-3<1
$$

$$
即m>-4
$$

现在观察条件二，若函数在$x\in(-\infty,-4)$异号，则小根一定小于-4，这样就使得$f(x)$在$x\in(-\infty,-4)时，存在x_0>0$

$$
即2m<-4
$$

$$
m<-2
$$

综上，本题答案为

$$
m\in(-4,-2)
$$