题目

已知$a＞e^2，b＞0，c＞0$，当$x≥0$时，$(e^x-\sqrt{a}x)(x^2-bx+c)≥0$恒成立，则$\frac{ac}{b^3}$的最小值为

分析

粗略过一遍题目，我们可以发现$x=0$是一种特殊情况，应该分类进行讨论，那么当$x>0$时，我们可以考虑将其拆分为两个函数，从导数入手，对其进行分析，还要考虑两个函数乘积大于等于0时，其零点满足的条件，从而进行求解。

解答

对于$x=0$，原式变为$c\ge0$，显然是成立的。
那么接下来开始讨论$x >0$的情况
对于原题的式子，我们可以化为

$$
(\frac{e^x}{x}-\sqrt{a})(x^2-bx+c)\ge0
$$

令$f(x)=\frac{e^x}{x}-\sqrt{a}$，$g(x)=x^2-bx+c$，
对$f(x)$求导可得

$$
f’(x)=\frac{xe^x-e^x}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}
$$

观察发现，$f(x)在（0,1)单调递减，在(1,+\infty)单调递增$
且有$f(1)=e-\sqrt{a}<0$，
对于$f(x)$，当$x\rightarrow0$时，$f(x)\rightarrow+\infty$
当$x\rightarrow+\infty$时，$f(x)\rightarrow+\infty$
因此，$f(x)$一定有两个零点，我们分别记为$x_1,x_2(x_1<x_2)$
于是我们能得到$f(x)$的正负性
当$x<x_1$或$x>x_2$时，$f(x)>0$，当$x_1<x<x_2$ 时,$f(x)<0$

$$
若使f(x)g(x)\ge0恒成立，则f(x)和g(x)必须同正同负，即它们的零点相同
$$

因此，通过韦达定理我们可以得到

$$
\begin{align}
b=x_1+x_2 \\
c=x_1x_2
\end{align}
$$

同时我们还有如下等式成立

$$
f(x_1)=f(x_2)=0
$$

即

$$
\frac{e^{x_1}}{x_1}=\frac{e^{x_2}}{x_2}=\sqrt{a}
$$

相乘得到

$$
a=\frac{e^{x_1+x_2}}{x_1x_2}
$$

代入上式由韦达定理得到的条件，我们可以得到

$$
\frac{e^b}{c}=a\rightarrow ac=e^b
$$

原题条件可以转化为求$\frac{e^b}{b^3}$的最小值
令$h(b)=\frac{e^b}{b^3}$，$h’(b)=\frac{e^bb^3-3e^bb^2}{b^6}=\frac{e^b(b-3)}{b^4}$
分析其单调性可知$h(b)_{min}=h(3)=\frac{e^3}{27}$
故原题答案为

$$
h(b)_{min}=\frac{e^3}{27}
$$