导数的基础知识及应用 2

前言

[关于导数的定义与简单应用]

上篇文章简单介绍了导数的定义和基本使用原则，但是没有进行深入的了解并加之以运用，因此本篇文章主要解决导数的求法与解决导数常见题型。

常见导函数

推导

这里我们例举最简单的二次函数作为求解导函数的例子
如下，这是一个基本的二次函数

$$f(x)=x^2$$

在第一章，我们有导数的基本定义式

$$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(\mathrm{\Delta }x+x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$$

这里，我们将函数进行代入，得到

$$f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{(\mathrm{\Delta }x+x{)}^2-x^2}{\mathrm{\Delta }x}$$

展开，变形，我们得到

$$f^{\prime }(x)=2x+\mathrm{\Delta }x$$

由于$\mathrm{\Delta }x$ 趋近于 0，故这里可以忽略，我们求得$f(x)$ 的导函数为

$$f^{\prime }(x)=2x$$

总结

通过如上手段，最终我们可以得到常见函数的导函数如下

$$1.f(x)=C,f^{\prime }(x)=0(C\mathrm{是}\mathrm{常}\mathrm{数})$$

$$2.f(x)=x^n,f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$$

$$3.f(x)=sinx,f^{\prime }(x)=cosx$$

$$4.f(x)=cosx,f^{\prime }(x)=-sinx$$

$$5.f(x)=a^x,f^{\prime }(x)=a^x\ln a$$

$$6.f(x)=lo{g}_{a}x,f^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln a}(a>0,a\ne 0)$$

$$7.f(x)=\ln x,f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$$

由此，我们便知道了各类函数的导数形式

应用

导数基本运算法则

一般的，函数解析式具有四种常见形式，这里分别进行列举

$$\mathrm{加}\mathrm{减}：F(x)=f(x)\pm g(x)，F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\pm g^{\prime }(x)$$

$$\mathrm{乘}\mathrm{法}：F(x)=f(x)\cdot g(x)，F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$$

$$\mathrm{除}\mathrm{法}：F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}，F^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{g^2(x)}$$

$$\mathrm{特}\mathrm{殊}\mathrm{函}\mathrm{数}：F(x)=f[g(x)]，F^{\prime }(x)=f^{\prime }[g(x)]\cdot g^{\prime }(x)$$

掌握这些运算法则，才能真正在题目中运用导数。

小试牛刀

$\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)=m{e}^x+x+3，\mathrm{设}m<-e^2，\mathrm{求}\mathrm{证}：\mathrm{函}\mathrm{数}f(x)\mathrm{没}\mathrm{有}\mathrm{零}\mathrm{点}$