前言

[关于导数的定义与简单应用]

上篇文章简单介绍了导数的定义和基本使用原则，但是没有进行深入的了解并加之以运用，因此本篇文章主要解决导数的求法与解决导数常见题型。

常见导函数

推导

这里我们例举最简单的二次函数作为求解导函数的例子
如下，这是一个基本的二次函数

$$
f(x)=x^{2}
$$

在第一章，我们有导数的基本定义式

$$
f’(x)=\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(\Delta x+x)-f(x)}{\Delta x}
$$

这里，我们将函数进行代入，得到

$$
f’(x)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0} \frac{(\Delta x+x)^{2}-x^2}{\Delta x}
$$

展开，变形，我们得到

$$
f’(x)=2x+\Delta x
$$

由于$\Delta x$趋近于0，故这里可以忽略，我们求得$f(x)$的导函数为

$$
f’(x)=2x
$$

总结

通过如上手段，最终我们可以得到常见函数的导函数如下

$$
1.f(x)=C,f’(x)=0(C是常数)
$$

$$
2.f(x)=x^n,f’(x)=nx^{n-1}
$$

$$
3.f(x)=sinx,f’(x)=cosx
$$

$$
4.f(x)=cosx,f’(x)=-sinx
$$

$$
5.f(x)=a^x,f’(x)=a^x\ln a
$$

$$
6.f(x)=log_{a}{x},f’(x)=\frac{1}{x\ln a}(a>0,a \neq 0)
$$

$$
7.f(x)=\ln x,f’(x)=\frac{1}{x}
$$

由此，我们便知道了各类函数的导数形式

应用

导数基本运算法则

一般的，函数解析式具有四种常见形式，这里分别进行列举

$$
加减：F(x)=f(x)\pm g(x)，F’(x)=f’(x)\pm g’(x)
$$

$$
乘法：F(x)=f(x)\cdot g(x)，F’(x)=f’(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g’(x)
$$

$$
除法：F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}，F’(x)=\frac{f’(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g’(x)}{g^2(x)}
$$

$$
特殊函数：F(x)=f[g(x)]，F’(x)=f’[g(x)]\cdot g’(x)
$$

掌握这些运算法则，才能真正在题目中运用导数。

小试牛刀

$函数f(x)=me^x+x+3，设m<-e^2，求证：函数f(x)没有零点 $