前言

偶然间在小学六年级的练习册上看到了这道题，尽管在当时做的时候并没有带来太多的困难，但本着数学刨根问底的原则，探索一下更深层的东西

问题

对于任意一个正整数n，使得$\frac{1}{n}$被拆分成$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}…..（a\ne b\ne c…..）$且均为正整数的形式。

解决

我们讨论其中一种分解情况，可以被分解为四个因数，我们不妨设

$$
n=abcd,其中a,b,c,d均为正整数
$$

那么取其倒数可得

$$
\frac{1}{n}=\frac{1}{abcd}
$$

上下同时乘$(a+b+c+d)$可得

$$
\frac{1}{n}=\frac{a+b+c+d}{abcd(a+b+c+d)}
$$

我们令$m=a+b+c+d$，再将原式拆开可得

$$
\frac{1}{n}=\frac{1}{bcdm}+\frac{1}{abcm}+\frac{1}{acdm}+\frac{1}{abdm}
$$

这个式子可以大致总结出一个规律，对于一个正整数n可以被分解为k个互不相等的正整数相乘，则可以将其中k-1项与k项因数之和相乘，最终得到k项分数式。

实践

例举$\frac{1}{18}$的分解方法

$$
\because n=18=1*3*6=2*9
$$

此处不止两种情况，暂且只列举这两个

$$
\therefore m=10或11
$$

即原式可分解为

$$
\frac{1}{18}=\frac{1}{180}+\frac{1}{60}+\frac{1}{30}
$$

或

$$
\frac{1}{18}=\frac{1}{22}+\frac{1}{99}
$$