前言

在高中数学中，数列放缩往往在高考中扮演极其重要的角色，往往是压轴题的直接证明对象或是关键步骤，而其放缩的灵活性与多变性使考生难以掌握，本文梳理常见的几种放缩形式。

放缩公式与技巧

• 增添项：$\sqrt{a^{2}+1}> \begin{vmatrix} a \end{vmatrix};\sqrt{n(n+1)}>n$
• 基本不等式：$a+b\geq2\sqrt{ab}$
• 分母放大或缩小，此法可能会伴随烈项操作
• 裂项：

1. $\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}$
2. $\frac{1}{2^{n}\left(2^{n}-1\right)}=\frac{1}{2^{n}-1}-\frac{1}{2^{n}}$

• 对数均值不等式链： $\text{若}a>b>0,\text{则}a<\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b}<\sqrt{ab}<\frac{a-b}{\ln a-\ln b}<\frac{a+b}{2}<\sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}}{2}}<b$
• 糖水不等式
• 切线放缩
• ……

此类公式实用性高，但是大部分题目不会那么容易让你看出放缩方向，因此还是要根据实际题型和情景来放缩

例题

例一

求证：

$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{k+1}{k^2} >ln(n+1)
$$

解答：

• 法一
  注意到

$$
ln(n+1)=\sum_{k=1}^{n} ln\frac{k+1}{k}
$$

要证原式，即证

$$
\sum_{k=1}^{n}\frac{k+1}{k^2}>\sum_{k=1}^{n} ln\frac{k+1}{k}
$$

即

$$
\frac{k+1}{k^2}> ln\frac{k+1}{k}
$$

令$t=\frac{1}{k} $，可知$t\in \left (0 ,1\right] $，原式化为

$$
t^2+t-ln(1+t)>0
$$

到这一步，函数求导分析已经很简单了，故不再说明。

• 法二

$$
在原题设条件下，要求证明x>1时,有x^2>x+lnx，这可以作为突破口
$$

令$x=x+1$，则原式化为

$$
x^2+x>ln(x+1)
$$

令$x=\frac{1}{k}$，原式等价于

$$
\frac{k+1}{k^2}> ln\frac{k+1}{k}
$$

到此推导至法一所求，证明完毕

例二

$$
n\in N^*，求证:\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(n+k)\tan{\frac{1}{n+k} } } >n-\frac{1}{4n+2}
$$

解答
可知$\frac{1}{n+k}\in(0,\frac{1}{2}]$，所以有

$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(n+k)\tan{\frac{1}{n+k} } } =\sum_{k=1}^{n} \frac{\cos{\frac{1}{n+k} }}{(n+k)\sin{\frac{1}{n+k} }} >\sum_{k=1}^{n}\cos{\frac{1}{n+k} }
$$

对放缩式进行三角恒等变换，有

$$
\sum_{k=1}^{n}\cos{\frac{1}{n+k} }=\sum_{k=1}^{n}(1-2\sin^2{\frac{1}{2(n+k)}} )=n-2\sum_{k=1}^{n}\sin^2{\frac{1}{2(n+k)}}
$$

即证

$$
\sum_{k=1}^{n}\sin^2{\frac{1}{2(n+k)}}<\frac{1}{8n+4}
$$

由切线放缩知，$x^2>\sin^2{x} (x>0)$，要证原式，即证

$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(n+k)^2}<\frac{1}{2n+1}
$$

经尝试发现，裂项间距为1时，精度不足，现尝试间距为$\frac{1}{2}$

$$
\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(n+k)^2}< \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(n+k)^2-\frac{1}{4} } =\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(n+k+\frac{1}{2} )(n+k-\frac{1}{2}) } =\sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{n+k-\frac{1}{2}} -\frac{1}{n+k+\frac{1}{2}})=\frac{2}{2n+1}-\frac{2}{4n+1}
$$

化简得

$$
\frac{1}{4n+1} >\frac{1}{4n+2}
$$

显然成立，故证毕

例三

$$
已知f(x)=e^x-\frac{2}{3} sinx，n\in N^*。在f(\frac{1}{1})f(\frac{1}{2})……f(\frac{1}{n})\geq(1+n)^a的条件下，求a的最大值
$$

补充条件：$当x\in[-\frac{1}{3},+\infty)时，f(x)\geq 1+\frac{1}{3}x$，当且仅当$x=0$时取等

注：该题来自2026年天津高考数学20题第三小问，原题第二问存在相关提示，在此说明

解答
两侧同取对数，可得

$$
lnf(\frac{1}{1} )+lnf(\frac{1}{2} )+….+lnf(\frac{1}{n} )\geq aln(n+1)
$$

等价于

$$
\sum_{k=1}^{n}lnf(\frac{1}{k} ) \geq a\sum_{k=1}^{n} ln(\frac{k+1}{k} )
$$

即

$$
lnf(\frac{1}{k} ) \geq aln(\frac{k+1}{k} )
$$

令$t=\frac{1}{k}，则t\in (0,1]$，原式等价于

$$
ln(e^t-\frac{2}{3}sint)\geq aln(1+t)
$$

放缩左式，得

$$
ln(e^t-\frac{2}{3}sint)\geq ln(1+\frac{1}{3}t )\geq aln(1+t)
$$

等价于

$$
1+\frac{1}{3}t \geq(1+t)^a
$$

简单分析发现，对于$a>1或a<0$的情况，该不等式没有恒成立的可能性，故$a\in(0,1)$

由伯努利不等式$(1+x)^n\leq 1+nx，n\in(0,1)$得

$$
1+\frac{1}{3}t \geq1+at\geq(1+t)^a \Rightarrow a\leq\frac13
$$

验证取等条件发现，两次放缩的取等条件均为$t=0$，故该答案成立

未完待续，更新日期：7月16日